الحلقة الخامسة والاخيرة : التضمين الزاوي
هناك ثلاث خصائص يمكن تغييرها للاشارة التماثلية وهي: الاتساع والطور والتردد وهذه الحلقة الاخيرة تتناول تضمين التردد (FM) وتضمين الطور (PM) .. إن تضمين التردد وتضمين الطور يعتبران شكلا للتضمين الزاوي وهناك خصائص مميزة تستدعي استعمال التضمين الزاوي بدلا من التضمين الاتساعي (AM) نظرا لمساهمته في انقاص الضوضاء وتحسين دقة نظام الاتصالات واكثر مردودية في استعمال الطاقة الا ان التضمين الزاوي يتطلب دوائر الكترونية معقدة في كل من جهازي الارسال والاستقبال.
في سنة 1931 اقترح التضمين الزاوي كبديل للتضمين الاتساعي وفي سنة 1936 تمكن العالم ارمسترونغ من تطوير نظام المذياع باستعمال FM وفي سنة 1939 تم البث الاذاعي باستعمال FM في الولايات المتحدة الامريكية.
وفي يومنا هذا اصبح استعمال التضمين الزاوي بشكل كبير جدا حيث يستعمل في البث الاذاعي وفي التلفاز لنقل الصوت والمذياع الخلوي وفي انظمة الاقمار الصناعية والميكروويف.
سنشرح في هذه الحلقة اساسيات تضمين التردد وتضمين الطور والعلاقة التي تربط بينهما ومامدى تميزهما على التضمين الاتساعي (AM) وكذلك التعرف على الدوائر الالكترونية التي تساهم في انتاج هذين النوعين من التضمين.
التضمين الزاوي والتردد اللحظي Angle Modulation and Instantaneous Frequency :
إن التضمين الزاوي ينتج كلما تغيرت زاوية الموجة الجيبية بدلالة الزمن.
نعبر رياضيا عن موجة التضمين الزاوي بواسطة المعادلة التالية:
- المعادلة الاولى
- eqn-1.jpg (20.24 KiB) شوهد 94 مرات
حيث الطور ϕ(t) هو دالة اشارة المعلومات. لنعيد كتابة المعادلة الاولى تحت الشكل التالي:
- المعادلة الثانية
- eqn-2.jpg (18.47 KiB) شوهد 95 مرات
حيث
- المعادلة الثالثة
- eqn-3.jpg (18.45 KiB) شوهد 93 مرات
أي Ɵ(t) هي زاوية الموجة الجيبية وهي متعلقة بالزمن ومن هنا يمكن ان نعبر على التردد اللحظي بالمعادلة التالية:
- المعادلة الرابعة
- eqn-4.jpg (17.76 KiB) شوهد 92 مرات
نعوض المعادلة الثالثة في المعادلة الرابعة نحصل على مايلي:
- المعادلة الخامسة
- eqn-5.jpg (19.89 KiB) شوهد 92 مرات
حيث
Wc=2πfc.
Φ(t): يعرف بالانحراف اللحظي في الطور.
(dϕ(t))/dt: يعرف بالانحراف اللحظي في التردد.
تضمين الطور وتضمين التردد Phase and Frequency Modulation (PM and FM):
كما اشرنا في اعلاه بان انواع التضمين الزاوي هما تضمين الطور (PM) وتضمين التردد (FM).
وبالنسبة لتضمين الطور (PM) فان الانحراف اللحظي في الطور يتناسب طردا مع اشارة المعلومات اي يمكن التعبير عنه رياضيا بالمعادلة التالية:
- المعادلة السادسة
- eqn-6.jpg (16.95 KiB) شوهد 90 مرات
حيث:
Kp: هو عبارة عن ثابت انحراف الطور ووحدته (radian/volt).
Vm(t): هو عبارة عن الجهد اللحظي لاشارة المعلومات.
اما بالنسبة لتضمين التردد (FM) فان الانحراف اللحظي في الطور يتناسب طردا مع اشارة المعلومات ويمكن التعبير عنه بالمعادلة التالية:
- المعادلة السابعة
- eqn-7.jpg (19.46 KiB) شوهد 89 مرات
ومن هنا يمكن التعبير عن قيمة الانحراف اللحظي بما يلي:
- المعادلة الثامنة
- eqn-8.jpg (21.71 KiB) شوهد 89 مرات
حيث:
Kf: هو عبارة عن ثابت انحراف التردد معبرا عنه ب (hz/v).
Φ(to): هو عبارة عن الطور الابتدائي عند 0.
في الغالب يفترض أنه عندما يؤول الزمن الى ناقص مالانهاية فإن الطور ينعدم ومن هنا يمكن تعويض المعادلات السادسة والثامنة في المعادلة الاولى التي جعلناها محطة الانطلاق لنعبر على التضمين الزاوي بما يلي:
- المعادلة التاسعة
- eqn-9.jpg (20.88 KiB) شوهد 114 مرات
- المعادلة العاشرة
- eqn-10.jpg (23.5 KiB) شوهد 114 مرات
حيث المعادلتان التاسعة والعاشرة تعبران عن الجهد اللحظي لكل من موجة تضمين الطور وموجة تضمين التردد على التوالي. والان نريد استخراج كلا من معادلتي التردد اللحظي لكل من تضمين الطور وتضمين التردد حتى يتسنى لنا رسم موجتيهما.
ومن اجل ذلك نعوض المعادلة السادسة في المعادلة الخامسة نحصل على:
- المعادلة الحادية عشر
- eqn-11.jpg (20.73 KiB) شوهد 88 مرات
اما تعويض المعادلة السابعة في المعادلة الخامسة يعطي مايلي:
- المعادلة الثانية عشر
- eqn-12.jpg (18.79 KiB) شوهد 90 مرات
من المعادلتين الحادية عشر والثانية عشر نلاحظ ان التردد اللحظي يتغير خطيا مع تفاضل الجهد اللحظي لاشارة المعلومات بالنسبة للزمن هذا خاص بتضمين الطور اما فيما يخص تضمين التردد نلاحظ ان التردد اللحظي يتغير خطيا مع الجهد اللحظي لاشارة المعلومات.
توليد موجتي تضمين الطور وتضمين التردد نظريا Theoretical Generation of PM and FM waves:
كما اشرنا سابقا على ان معادلات التردد اللحظي لكل من تضمين الطور وتضمين التردد هما الركيزتان الاساسيتان لفهم طريقة توليد موجتي PM و FM نظريا كما يوضحه الشكل التالي:
- الشكل الاول : كيفية توليد موجتي PM و FM
المثال الاول: اوجد التردد اللحظي بالهرتز لاشارة التضمين الزاوي V(t) = 10cos(200πt+(π/3)).
الحل:
دليل التضمين Modulation Index:
أ. دليل التضمين لموجة تضمين الطور:
دليل التضمين لموجة تضمين الطور يعطى بالعلاقة التالية:
- المعادلة الثالثة عشر
- eqn-13.jpg (15.96 KiB) شوهد 88 مرات
حيث:
m: دليل التضمين ويقاس بالradian .
Kp: ثابت انحراف الحساسية ويقاس بال radian/volt.
Vm: السعة القصوى لجهد اشارة المعلومات.
يجب التنبيه على ان دليل التضمين لموجة تضمين الطور يدعى كذلك (الانحراف الاقصى في الطور).
المثال الثاني: اوجد دليل التضمين (الانحراف الاقصى في الطور) لتضمين الطور حيث ثابت انحراف الحساسية:
V(t) = 2 cos(2π2000t)
الحل:
- Sol. Ex.2.jpg (21.34 KiB) شوهد 88 مرات
ب. دليل التضمين لموجة تضمين التردد:
دليل التضمين لموجة تضمين التردد يعطى بالعلاقة التالية:
- المعادلة الرابعة عشر
- eqn-14.jpg (18.24 KiB) شوهد 88 مرات
- المعادلة الخامسة عشر
- eqn-15.jpg (16.73 KiB) شوهد 88 مرات
حيث:
∆f = kfVm: يدعى الانحراف في التردد او الانحراف الاقصى في التردد.
Fm: تردد اشارة المعلومات.
Kf: ثابت انحراف الحساسية لضمن التردد.
المثال الثالث: اوجد الانحراف الاقصى للتردد ودليل التضمين لمضمن التردد حيث ثابت انحراف الحساسية Kf=5 KHz/V وإشارة المعلومات V(t)=2 cos(2π2000t).
الحل:
أ. الانحراف الاقصى في التردد لمضمن FM:
- Sol.Ex.3.A.jpg (22.44 KiB) شوهد 88 مرات
ب. دليل التضمين لموجة FM:
- Sol.Ex.3.B.jpg (22.95 KiB) شوهد 88 مرات
تحليل الموجات المضمنة للتضمين الزاوي بواسطة التردد Frequency Analysis of Angle Modulated Waves:
ان اشتمال اشارة المعلومات احادية التردد من اجل تضمين الموجة الحاملة تضمينا زاويا فان مضمن الطور او التردد ينتج عددا غير منتهي من ازواج الاجنحة الترددية والتي تمتلك عرض نطاق غير منتهي.
كل جناح يزاح على الموجة الحاملة بواسطة حاصل ضرب عدد الذي يلي العدد قبله (العدد الاول يساوي واحد).
أي Fc±Fm, Fc±2Fm,....,Fc±nFm .
ومن ناحية اخرى يمكن اهمال معظم الاجنحة لان سعتها ضعيفة.
من اجل تحليل الموجة المضمنة للتضمين الزاوي بواسطة التردد نذكر بمعادلة التضمين الزاوي الاولى والمعطاة بما يلي:
- المعادلة السادسة عشر
- eqn-16.jpg (20.32 KiB) شوهد 88 مرات
بتعويض المعادلة السادسة في المعادلة السادسة عشر نحصل على:
- المعادلة السابعة عشر
- eqn-17.jpg (20.36 KiB) شوهد 86 مرات
لنفترض ان اشارة المعلومات معطاة بالعلاقة التالية:
- المعادلة الثامنة عشر
- eqn-18.jpg (17.64 KiB) شوهد 86 مرات
نعوض المعادلة الثامنة عشر في المعادلة السابعة عشر نحصل على:
- المعادلة التاسعة عشر
حيث استبدلنا KpV ب m (انظر المعادلة الثالثة عشر) باستعمال تعريف دالة بيسال:
- المعادلة العشرون
حيث Jn(m) هي دالة بيسال من النوع الاول ومن الدرجة n بطويلة m.
بتطبيق المعادلة العشرون على المعادلة التاسعة عشر نحصل على
- المعادلة الواحدة والعشرون
- eqn-21.jpg (23.29 KiB) شوهد 86 مرات
الان نقوم بنشر للمعادلة الحادية والعشرون الى غاية الحدود الاربع الاولى نحصل على
- المعادلة الثانية والعشرون
ان المعادلة الثانية والعشرون تبين ان استعمال اشارة المعلومات احادية التردد في التضمين الزاوي ينتج عنه عدد غير منتهي من ازواج الاجنحة الترددية والواقعة على جانبي المركبة الترددية المركزية للموجة الحاملة fc على الشكل التالي:
- المعادلة الثالثة والعشرون
- eqn-23.jpg (20.38 KiB) شوهد 86 مرات
الازواج المتتابعة تدعى عرض الجناح من الدرجة الاولى ثم عرض الجناح من الدرجة الثانية وهكذا اما اطوال سعاتها فهي محددة بواسطة الثوابت J1(m),J2(m) بالترتيب. إن الجدول الاول يوضح دوال بيسال من النوع الاول من اجل عدة قيم لدليل التضمين.
- الجدول الاول : دوال بيسال من النوع الاول Jn(m).
يمكن الملاحظة من الجدول الاول انه كلما زاد معامل التضمين (m) فان طويلة الموجة الحاملة Jn(m) تتناقص. وإن الشكل الثاني يوضح منحنيات السعات النسبية للموجة الحاملة وبعض ازواج من الاجنحة الترددية من اجل قيم m الى غاية 10.
- الشكل الثاني : رسم بياني يوضح قيم Jn(m) مقابل m.
متطلبات عرض نطاق موجات المضمنة زاويا Bandwidth requirement for angle modulated:
نود ان ننتبه الى الملحوظة التالية بناءا على الكلام السابق فإن عرض نطاق التضمين الزاوي يتعلق بتردد اشارة المعلومات وثابت التضمين فبالتالي لابد ان نقوم بتمييز عدة حالات:
الحالة الاولى: عندما يكون ثابت التضمين منخفضا ففي هذه الحالة فإن الطيف الترددي للتضمين الزاوي يشبه تماما الطيف الترددي للتضمين الاتساعي AM وعرض النطاق الادنى تجاوزا يعطى بالعلاقة التالية:
- المعادلة الرابعة والعشرون
- eqn-24.jpg (14.11 KiB) شوهد 86 مرات
الحالة الثانية: من اجل دليل التضمين العالي فان عرض النطاق في هذه الحالة يقرب بالعلاقة التالية:
- المعادلة الخامسة والعشرون
- eqn-25.jpg (14.06 KiB) شوهد 85 مرات
الحالة الثالثة: إن عرض النطاق المطلوب من اجل تمرير جميع الاجنحة الترددية لموجة التضمين الزاوي معطاة بالعلاقة التالية:
- المعادلة السادسة والعشرون
- eqn-26.jpg (16.05 KiB) شوهد 84 مرات
حيث:
N: عدد ازواج الاجنحة وتحدد من جدول بيسال.
Fm: تردد اشارة المعلومات (إشارة التضمين).
الحالة الرابعة: بتاريخ 28 اغسطس 1939م اوجد العالم كارسن (Carson) قانون بموجبه يحدد عرض نطاق موجة التضمين الزاوي وهذا بغض النظر على دليل التضمين واصبح يدعى بقانون كارسن الذي ينص رياضيا على مايلي:
- المعادلة السابعة والعشرون
- eqn-27.jpg (18.52 KiB) شوهد 84 مرات
حيث:
∆f: الانحراف الاقصى في التردد.
Fm(max): التردد الاقصى لاشارة التضمين (المعلومات).
لو تأملنا قانون كارسن لوجد أنه ياخذ بعين الاعتبار الحالة الاولى والثانية كيف؟
لو فرض ان Fm(max) كبيرة جدا مقارنة ب ∆f فان قانون كارسن يختصر الى المعادلة الرابعة والعشرون وهي تمثل الحالة الاولى التي مرت ومن جهة اخرى لو افترضنا ان ∆f كبيرة جدا امام Fm(max) فان قانون كارسن يختصر الى المعادلة الخامسة والعشرون والتي تمثل الحالة الثانية التي ذكرناها وبالتالي يمكن القول ان قانون كارسن قانون شامل. ان قانون كارسن يحدد عرض النطاق الذي يشمل تقريبا 98% من الطاقة المحتواة في الموجة المضمنة.
ان عرض النطاق الفعلي المطلوب يتعلق باشارة التضمين (المعلومات) ونوعية الارسال المرغوب فيه.
المثال الرابع: من أجل مضمن FM حيث الانحراف الاقصى في التردد ∆f=10KHz وتردد اشارة التضمين Fm=10KHz وسعة الموجة الحاملة Ec=10V وترددها Fc=500KHz.
أوجد:
أ. عرض النطاق الادنى باستعمال جدول بيسال.
ب. عرض النطاق الادنى باستعمال قانون كارسن.
الحل:
نلاحظ ان عرض النطاق الفعلي الناتج من قانون كارسن والمطلوب لتمرير جميع الاجنحة الترددية اقل من عرض النطاق الناتج من استعمال جدول بيسال فبالتالي يمكن ان نخلص الى الاستنتاج التالي: عند تصميم نظام اتصالات باستعمال قانون كارسن سيكون هذا النظام اقل مردودية بنسبة ضئيلة مقارنة مع اي نظام يصمم بواسطة جدول بيسال.
القدرة المتوسطة للموجة المضمنة زاويا Average Power of an Angle-Modulated wave :
احد الفروق الاساسية بين التضمين الزاوي وتضمين السعة يكمن في توزيع الطاقة في الموجة المضمنة وهذا على خلاف AM فإن الطاقة الكلية في الموجة المضمنة في التضمين الزاوي تساوي طاقة الموجة الحاملة قبل التضمين وهذا جوهر الاختلاف بينهما. وبالتالي يمكن القول ان الطاقة التي تحملها الموجة الحاملة قبل التضمين سيعاد توزيعها بعد التضمين على كل من الموجة الحاملة بعد التضمين والاجنحة الترددية. ورياضيا يمكن التعبير عن قدرة الموجة الحاملة قبل التضمين بالمعادلة التالية (انظر الحلقة الثانية):
- المعادلة الثامنة والعشرون
- eqn-28.jpg (17.82 KiB) شوهد 83 مرات
اما القدرة الكلية فهي معطاة بالعلاقة التالية:
- المعادلة التاسعة والعشرون
- eqn-29.jpg (18.62 KiB) شوهد 83 مرات
- المعادلة الثلاثون
- eqn-30.jpg (27.37 KiB) شوهد 83 مرات
حيث:
Pl: القدرة الكلية للموجة المضمنة زاويا.
Po: قدرة الموجة الحاملة بعد التضمين.
P1: قدرة المجموعة الاولى من الاجنحة الترددية.
P2: قدرة المجموعة الثانية من الاجنحة الترددية.
Pn: قدرة المجموعة n من الاجنحة الترددية.
Eo=JoEc: سعة الموجة الحاملة بعد التضمين.
V1=J1Ec: سعة الجناح الترددي الاول.
Vn=JnEc: سعة الجناح الترددي n.
اما Jo,J1,....,Jn هي عبارة عن جذور دالة بيسال من النوع الاول والمعطاة في الجدول الاول حسب قيمة دليل التضمين كذلك نلاحظ ان الرقم 2 الموجود في المعادلة الثلاثون نتيجة وجود زوج من الاجنحة واحد على يمين Fc والاخر على يسار Fc.
المثال الخامس:
أ. اوجد قدرة الموجة الحاملة قبل التضمين لمضمن FM مع الشروط المعطاة في المثال الرابع (افتراض ان مقاومة الحمل Rl=50 Ω.
ب. اوجد القدرة الكلية المحتواة في الموجة المضمنة للتضمين الزاوي.
الحل:
نلاحظ ان قيمة الطاقة الكلية قريبة من طاقة الموجة الحاملة قبل التضمين اما الفروقات الطفيفة بينهما ترجع الى القيم المقربة في جدول بيسال.
الدوائر الالكترونية المستعملة في توليد موجات التضمين الزاوي عمليا Practical Generation of Angle Modulated Waves:
أ. دائرة معدل FM:
- الشكل الثالث : دائرة معدل لانتاج موجة FM.
ان الشكل الثالث يوضح الدائرة الالكترونية التي يمكن استخدامها من اجل توليد موجة FM. وفي هذا الشكل صمام متغير المكثفة قد استعمل لتحويل كل تغيير يطرأ على سعة إشارة المعلومات الى تغيير في التردد ومن المعروف ان تردد الاهتزاز للمذبذب يعطى بالعلاقة التالية:
- المعادلة الواحدة والثلاثون
- eqn-31.jpg (18.35 KiB) شوهد 83 مرات
عند تطبيق اشارة المعلومات فان تردد الاهتزاز يصبح كالتالي:
- المعادلة الثانية والثلاثون
- eqn-32.jpg (20.44 KiB) شوهد 83 مرات
حيث f هو التردد الجديد للمذبذب و ∆C هو التغيير الذي حصل في المكثفة نتيجة تطبيق اشارة المعلومات اما L فهي قيمة الملف وتعطى بالهنري (H).
ب. دائرة معدل PM:
- الشكل الرابع : دائرة معدل لانتاج موجة PM.
إن الشكل الرابع يوضح الدائرة الالكترونية التي يمكن استخدامها من اجل توليد موجة PM. فنتيجة تطبيق اشارة المعلومات على صمام متغير المكثفة سيحدث تغيير في قيمة المكثفة لهذا الصمام مما يؤدي الى تغيير طور الموجة الحاملة.
مع امنياتي بالموفقية
